LQR的原理和步骤

LQR（线性二次调节器）是一种最优控制策略，用于线性时间不变系统。LQR旨在最小化一个关于系统状态和控制输入的二次代价函数。下面是LQR的原理和基本步骤：

1. 原理

LQR的目标是找到一个状态反馈控制器，使得以下的二次代价函数达到最小：

其中：

• $x(t)$$x(t)$ 是系统状态向量。

• $u(t)$$u(t)$ 是控制输入向量。

• $Q$$Q$ 和 $R$$R$ 是给定 的正定权重矩阵，用于量化状态和控制输入的代价。

2. 基本步骤

以下是设计LQR控制器的基本步骤：

1. 系统的状态空间表示：首先，需要将系统表示为状态空间形式：

其中，$A$$A$、$B$$B$ 和 $C$$C$ 是系统的状态空间矩阵。

2. 求解Riccati方程：为了找到使得代价函数 $J$$J$ 最小化的状态反馈律 $u(t)=-Kx(t)$$u(t) = -Kx(t)$，需要求解连续时间阿尔杰布拉-里卡提方程(Continuous-Time Algebraic Riccati Equation, CARE)：

   $$A^{T}P+PA-PB{R}^{-1}{B}^{T}P+Q=0$$

   其中，$P$$P$ 是一个对称正定矩阵。

3. 计算状态反馈增益：利用上一步得到的矩阵 $P$$P$ 计算状态反馈增益 $K$$K$ ：

   $$K=R^{-1}{B}^{T}P$$

4. 实施控制律：使用计算得到的增益 ( K ) 控制系统。控制律为：

   $$u(t)=-Kx(t)$$

在实际应用中，可以使用现有的软件工具，如MATLAB的Control System Toolbox，来自动执行上述步骤并设计LQR控制器。

总之，LQR控制策略提供了一种方法来确定状态反馈增益，使得给定的二次代价函数达到最小。这种策略特别适用于线性系统，并已在各种应用中被证明是非常有效的。